离散时间 Hawkes 过程的稳定性：关于抑制情形的普适条件

本文研究了离散时间 Hawkes 过程的类比模型，作为具有参数取决于轨迹历史的泊松自回归过程。该模型允许参数取负值，从而建模抑制动力学。更具体地说，模型是随机过程 $(\Tilde X_n)_{n\ge0}$，其参数为 $a_1,\ldots,a_p \in \R$, $p\in\N$ 和 $\lambda > 0$，满足：对所有 $n\ge p$，在给定 $\Tilde X_0,\ldots,\Tilde X_{n-1}$ 的条件下，$\Tilde X_n$ 服从参数为 $$\left(a_1 \Tilde X_{n-1} + \cdots + a_p \Tilde X_{n-p} + \lambda \right)_+$$ 的泊松分布。该过程可视为具有记忆长度为 $p$ 的离散时间抑制性Hawkes 过程。%本工作是先前研究 $p=2$ 情形的延伸，其中我们能够对参数的整个范围（除边界情况外）对过程的渐近行为进行分类。我们首先给出一般情况下的稳定性充分条件，其形式类似于连续时间Hawkes过程的条件 \cite{costa_renewal_2020}。随后我们聚焦于 $p=3$ 的情况，扩展了在 $p=2$ 情形下先前工作 \cite{Costa_Maillard_Muraro_2024} 中得到的结果。特别是，我们表明即使某个系数 $a_i$ 远大于 1，过程仍可能稳定。