非线性 Hawkes 过程的精确渐近解：稳态解的系统分类

Hawkes 点过程是描述间歇性突发动力学的一阶非马尔可夫随机模型，在物理、地震、流行病、生物、金融和社会系统中有应用。标准线性 Hawkes 过程虽然考虑了可能导致复杂系统临界现象的正反馈回路，但仅能描述激发现象。为描述激发与抑制效应（或负反馈）的共存，需要涉及强度对过去活动呈非线性依赖的扩展模型。然而，由于非马尔可夫与非线性特征的相互作用，此类非线性 Hawkes 过程迄今被认为在解析上难以处理，尚无解析解可用。本文利用场主方程方法给出非线性 Hawkes 过程的多种精确且稳健的渐近解。我们报告了稳态强度分布 $P_{\mathrm{ss}}(\lambda)\propto \lambda^{-1-a}$ 的显式幂律公式，其中尾部指数 $a$ 解析地表示为非线性 Hawkes 模型参数的函数。我们给出非线性 Hawkes 过程的三个稳健而有趣的特征：(i) 对于单侧正标记（即无抑制效应），通过适当的模型选择，非线性 Hawkes 过程可表现出任意幂律关系，既可作为中间渐近（$a\leq 0$）也可作为真正渐近（$a>0$）；(ii) 对于零均值标记（即激发与抑制效应平衡），对于一大类具有快速加速强度映射的非线性 Hawkes 过程，普遍观察到 Zipf 定律（$a\approx 1$）；(iii) 对于负均值标记，渐近幂律尾部随均值标记更负而变轻，指数增大至 1 以上（$a>1$）。