旋转控制与约束粘性哈密顿-雅可比偏微分方程解的唯一性

对于状态 $x$ 约束于开集 $\Omega$ 的闭包 $C:=\bar\Omega$ 的控制系统，经典的向内指向条件（IPC）规定：在边界每一点 $x\in \partial \Omega$ 处，动力学与 $\bar \Omega$ 在 $x$ 处切空间内部的交集非空。在此假设下，对于时间区间 $[0,T]$ 上的任意系统轨迹 $x(.)$（可能违反约束），可构造一条满足约束的新系统轨迹 $\hat x(.)$，其与 $x(.)$ 的距离由正比于最大偏离量 $d:=\mathrm{dist}(\Omega,x([0,T]))$ 的量所界定。当（IPC）不成立时，一般无法构造这样的约束轨迹。然而，对于形如 $\dot{x}=f_1(x)u_1+f_2(x)u_2$ 的控制系统，本文证明：涉及动力学向量场李括号的“高阶”向内指向条件，允许以新方法构造约束轨迹 $\hat x(.)$，其与参考轨迹 $x(.)$ 的距离由正比于 $\sqrt{d}$ 的量所界定。我们的方法需要进一步假设某种曲率的非正性，并基于一种合适的“旋转”控制策略的实现。作为一个应用，我们建立了经典最优控制问题值函数 $V$ 直至边界的连续性，该连续性使得 $V$ 可被视为相应贝尔曼方程的唯一约束粘性解。