洛伦兹空间形式的黎曼对应物

在光滑 $n$-流形 $M$（其中 $n \geq 3$）上，我们研究由黎曼度量 $g$ 与单位长闭向量场 $T$ 组成的对 $(g,T)$。受里奇孤子如何通过 distinguished 向量场推广爱因斯坦度量的启发，我们提出通过考虑那些对应的洛伦兹度量 $g_{\scriptscriptstyle L} = g - 2T^{\flat} \otimes T^{\flat}$ 具有常曲率的配对 $(g,T)$ 来推广空间形式。我们通过例子表明，当 $M$ 非紧时此类配对存在，且其中存在完备度量。然而当 $M$ 紧时，情形则更为刚性。在紧致情形下，我们证明对应的洛伦兹度量 $g_{\scriptscriptstyle L}$ 为空间形式的配对 $(g,T)$ 仅有那些 $(M,g)$ 平坦且其万有覆盖等距分裂为乘积 $\mathbb{R} \times N$ 的情形。紧致洛伦兹球面空间形式的不存在性在我们的证明中起着关键作用。