球面与投影空间上的广义法齐次黎曼度量

本文发展了研究广义法齐次黎曼流形的新方法。特别地，我们获得了球面上广义法齐次黎曼度量的完整分类。我们证明：对于任何在 $S^n$ 上连通且（几乎有效）传递的紧李群 $G$，其 $S^n$ 上的 $G$-不变黎曼度量族包含广义法齐次但非法齐次的度量，当且仅当该族依赖于多于一个参数。任何这样的族（仅存在于 $n=2k+1$ 时）都包含一个 $S^n$ 上截面曲率为常数 1 的度量 $g_{\can}$。我们还证明了 $(S^{2k+1}, g_{\can})$ 关于 $G$ 是 Clifford-Wolf 齐次的，因而是广义法齐次的（除了 $k+1$ 为奇数的 $G=SU(k+1)$ 群情形）。我们描述了 $(S^{2k+1}, g_{\can})$ 上来自李群 $G$ 的李代数 $\mathfrak{g}$ 的单位 Killing 向量场空间为某个对称空间（除了 $G=U(k+1)$ 的情形，此时得到的是 $\mathbb{C}^{k+1}$ 中所有复 Grassmann 流的并集）。