Lorenz 流混沌吸引子危机中的共振

驻点和极限环的局部分岔已成功用这些解的临界指数来表征。Lyapunov 指数及其相关的协变 Lyapunov 向量已被提出作为支持理解混沌动力系统临界转变的工具。然而，目前尚不清楚在边界危机（即混沌吸引子与鞍点碰撞）期间动力系统的统计性质如何变化。本文针对 Lorenz 流中的边界危机研究了这种行为，对于该危机，无论是 Lyapunov 指数还是协变 Lyapunov 向量都不能提供危机判据。相反，由转移算子半群控制的概率密度时间演化向不变测度的收敛，预计在接近危机时会减慢。这种收敛由该半群生成元的特征值描述，这些特征值可分为两族，分别称为稳定 Ruelle-Pollicott 共振和不稳定 Ruelle-Pollicott 共振。前者描述了密度向吸引子的收敛（或从排斥子的逃逸），并通过对相空间采样的许多短时间序列来估计。后者负责关联的衰减或混合，并且可以在遍历性假设下从长时间序列中估计。在数值上发现，对于 Lorenz 流，稳定共振在危机期间确实接近虚轴，这表明吸引子全局稳定性的丧失。另一方面，不稳定共振以及进而关联的衰减，对危机的邻近并不敏感，这使人们对混沌吸引子边界危机早期预警指标的通常设计以及在此类危机附近响应理论的适用性产生了质疑。