残差驱动的在线广义多尺度有限元方法

通过多尺度基函数构建局部降阶模型一直是一个活跃的研究领域。在本文中，我们提出了利用离线空间和当前残差构建的在线多尺度基函数。基于我们的误差指示器，在线多尺度基函数在某些选定区域自适应地构建。我们推导了一个误差估计量，表明需要具备特定性质的离线空间，以保证额外的在线多尺度基函数能够减小误差。这种误差减小与物理参数（如问题中的对比度和多尺度）无关。离线空间是使用广义多尺度有限元方法 (GMsFEM) 构建的。我们表明，如果选择足够数量的离线基函数，则可以保证额外的在线多尺度基函数将独立于对比度地减小误差。值得注意的是，在线基函数的构建动机在于离线空间构建未考虑远距离效应。利用残差信息，只要离线近似满足某些性质，我们就可以纳入远距离信息。文中展示了理论和数值结果。我们的数值结果表明，如果离线空间足够大（就维度而言），使得粗空间包含所有对应于小特征值的多尺度谱基函数，那么添加在线多尺度基函数所带来的误差减小就独立于对比度。我们讨论了计算在线多尺度基函数的各种方法，其中包括使用小维度离线空间。