约束能量最小化广义多尺度有限元方法

本文的主要目标是在GMsFEM框架内设计多尺度基函数，使得方法的收敛性与对比度无关，并且在适当选择过采样尺寸时随网格尺寸线性减小。我们期望以最少的基函数数量展示一种依赖于网格的收敛性。我们的构造始于通过求解局部谱问题得到辅助多尺度空间。在辅助多尺度空间中，我们选择对应于小（依赖于对比度的）特征值的基函数。这些基函数表示通道（连接粗块边界的高对比度特征）。利用辅助空间，我们提出一种约束能量最小化来构造多尺度空间。该最小化在过采样域中执行，其大于目标粗块。约束允许处理局部极小值的非衰减分量。如果辅助空间选择正确，我们证明收敛速率与对比度无关（因为表示通道的基包含在辅助空间中），并且与粗网格尺寸成正比（因为约束处理了局部极小值的非衰减分量）。如我们的分析所示，过采样尺寸弱依赖于对比度。收敛定理要求通道不与粗边对齐，这在许多应用中成立，其中通道相对于粗网格几何是倾斜的。数值结果证实了我们的理论结果。特别地，我们表明如果过采样域尺寸不够大，误差会很大。为消除过采样尺寸对对比度的依赖，我们提出了一种改进的基函数构造，并给出了数值结果和分析。