求解非线性孔隙弹性与弹性问题的约束能量最小化广义多尺度有限元方法

本文应用约束能量最小化广义多尺度有限元方法（CEM-GMsFEM）首先求解一个非线性孔隙弹性问题。所出现的系统由应变限制设定下的非线性压力方程与非线性应力方程组成，其中应变保持有界而应力可任意增大。对系统作时间离散后，为处理非线性，我们通过皮卡迭代将所得方程线性化。为求解线性化方程，我们采用 CEM-GMsFEM，并获得关于压力与位移的合适离线多尺度基函数。更具体地，首先通过 GMsFEM 求解局部谱问题生成辅助多尺度基函数；随后在过采样区域中通过求解约束能量最小化（CEM）问题构造多尺度空间。此后，该策略（结合 CEM-GMsFEM）亦应用于上述非线性孔隙弹性问题的静态情形，即弹性问题，其中通过自适应富集过程生成基于残差的在线多尺度基函数，以进一步减小误差。两种情形的收敛性由若干数值模拟展示，其给出了精确解，且随粗网格尺寸收敛并仅需少量基函数（自由度）与过采样层。