诺特环上相对自由仿射代数的可表示性

多年来出现了关于（非交换）多项式的 T-理想的问题。但在矩阵子代数中求值非中心多项式时，人们往往难以控制该多项式的具体求值。在特征 0 中克服此困难的一种途径是归约到多重线性多项式并利用对称群的表示论。但此技术在特征 $p>0$ 时不可用。一种成功的替代方法是多项式的“hiking”过程，即分阶段特化其不定元，以获得含卡佩利（Capelli）多项式的多项式，从而控制其求值。该方法曾用于正特征域上仿射代数的 Specht 猜想证明中的齐次多项式。本文进一步发展 hiking 至非齐次多项式，以应用于可表示性问题。Kemer 于 1988 年证明：无限域上的每个仿射相对自由 PI 代数都是可表示的。2010 年，本文第一作者更一般地证明：任意交换诺特含幺环上的每个仿射相对自由 PI 代数都是可表示的。我们基于有限域上的非齐次多项式 hiking，给出一种不同的、完整的证明。随后利用对 T-理想的诺特归纳，得到诺特交换环上的完整结果。证明的主体针对基域为正特征的情形。此处，尽管 hiking 的使用比证明 Specht 猜想时更直接，但当基环有限时必须考虑非齐次多项式，这带来若干需克服的困难。在附录中，我们展示了如何改造 hiking 以证明对合版本，以及各种分次与非结合定理。