关于有理 Dunkl 背景下 Hardy 空间 $H^1$ 原子分解的注记

设 $\Delta$ 为 $\mathbb R^N$ 上与归一化根系 $R$ 和重数函数 $k(\alpha)\geq 0$ 关联的 Dunkl Laplacian。我们称函数 $f$ 属于 Hardy 空间 $H^1_{\Delta}$，如果非切向极大函数 $\mathcal M_H f(\mathbf x)=\sup_{\| \mathbf x-\mathbf y\|<t} |\exp(t^2\Delta )f(\mathbf x)|$ 属于 $L^1(w(\mathbf x)\, d\mathbf x)$，其中 $w(\mathbf x)=\prod_{\alpha\in R} |\langle \alpha,\mathbf x\rangle|^{k(\alpha)}$。我们证明了 $H^1_\Delta$ 与空间 $H^1_{\rm atom}(\mathbb R^N, \| \mathbf x-\mathbf y\|, w(\mathbf x)d\mathbf x)$ 一致，后者被理解为 Coifman--Weiss 意义下齐次型空间上的原子 Hardy 空间。为此，我们改进了对 $e^{t\Delta}$ 热核的估计。