具有两对相等涡量的四涡旋问题中的相对平衡

我们详细考察了四涡旋问题中的相对平衡，其中两对涡旋具有相等的强度，即 $\Gamma_1 = \Gamma_2 = 1$ 且 $\Gamma_3 = \Gamma_4 = m$，其中 $m$ 为非零实参数。一个主要结果是，对于 $m > 0$，所有凸构型均包含一条对称轴，形成菱形或等腰梯形。菱形解存在于所有 $m$ 值，而等腰梯形情形仅当 $m$ 为正时存在。事实上，当 $m < 0$ 时存在非对称凸构型。与具有两对相等质量的牛顿四体问题（其中所有凸中心构型的对称性尚未被证明）相比，涡旋情形下的方程更易于处理，从而允许对所有解进行完整分类。文中提供了不同 $m$ 值下解的数量和类型（等价类）的精确计数，并描述了一些发生的分岔。我们的技术涉及分析与现代计算代数几何的结合。