$N$点涡系中的自相似运动及相关相对平衡

我们研究点涡系统的自相似解。对于三点涡问题以及四点和五点涡问题的特定例子，已获得自相似解的显式公式。我们看到，由这些自相似坍缩解构成的族由单参数族描述，其坍缩时间与哈密顿量也由同一参数的函数表示。进而，该参数在极限点处的构型处于相对平衡。对于多点涡问题，我们借助数值计算研究点涡系统。特别地，考虑$N-1$个点涡具有均匀涡强的情形，我们证明自相似坍缩解族连续依赖于哈密顿量，且当哈密顿量接近某些值时自相似解渐近趋于相对平衡。此外，我们证明四点涡系统相对平衡的存在性。我们还研究了一个具有非均匀涡强的七点涡例子并给出其数值结果。