广义 Euler 与表面准地转点涡的坍缩

本文提出了广义 Euler 方程的点涡模型，该方程的特征是主动标量与流函数之间存在分数阶拉普拉斯算子关系。特别关注表面准地转（SQG）方程的情况，其有限时间奇异性的存在性仍是一个有争议的问题。点涡轨迹使用 Nambu 动力学表示。该表述基于非正则括号，允许将轨迹几何解释为 Hamilton 量和 Casimir 的等值集的交集。在此设定下，我们重点关注三点涡模型的解的坍缩。特别地，我们表明对于 SQG，坍缩可以是自相似的或非自相似的。自相似性仅在 Hamilton 量为零时发生，而非自相似性出现在 Hamilton 量非零时。对于这两种情况，在允许区间内任意选择环量都允许坍缩。这些结果与经典点涡模型截然不同，在经典模型中，对于任何 Hamilton 量值坍缩都是自相似的，但涡环量必须满足严格的关系。这些结果也可能为 SQG 偏微分方程中奇异性的形成提供启示，在该方程中，奇异性被认为仅以自相似方式达到。