环面流形的相对代数几何稳定性

本文在环面意义下研究环面流形的相对 Chow 稳定性和 $K$-稳定性。首先，我们给出环面 Fano 流形在环面意义下相对 $K$-稳定与不稳定的判据。将利用 Hibert-Mumford 判据以两种方式研究环面流形上相对 Chow 稳定性的约化。其一是考虑极大环面作用及其权多面体。我们通过 Ono [Ono13] 的策略得到一种约化，其契合由 Sz\'ekelyhidi 探测的相对 GIT 稳定性。另一种方式依赖于 $\mathbb{C}^*$-作用以及与环面退化相关的 Chow 权，遵循 Donaldson 和 Ross-Thomas [D02, RT07]。作为我们主要定理的应用，我们部分确定了环面 Fano 三维流形的相对 $K$-稳定性，并给出在环面意义下相对 $K$-稳定但渐近相对 Chow 不稳定的反例。最后，我们解释了本文已发表版本（对应第 1-5 节）中的错误部分，该部分为表 6 中的相对 $K$-稳定性提供了一些非决定性结果。