分次理想幂的 regularity 函数

本文研究如下问题：在标准分次代数 $R$ 中由 $d$ 次形式生成的理想 $I$，其哪些非负整数序列可作为函数 $\operatorname{reg} I^{n-1}/I^n$、$\operatorname{reg} R/I^n$、$\operatorname{reg} I^n$ 出现。这些函数在渐近意义下为斜率 $d$ 的线性函数。若 $\dim R/I = 0$，我们给出所有作为函数 $\operatorname{reg} I^{n-1}/I^n$、$\operatorname{reg} R/I^n$ 出现的数值函数的完整刻画，并证明 $\operatorname{reg} I^n$ 可以是任意满足 $f(n) \ge dn$ 且在弱递减直至成为斜率为 $d$ 的线性函数之前的数值函数。后一结果对 Eisenbud 和 Ulrich 的一个问题给出了否定回答。若 $\dim R/I \ge 1$，我们证明 $\operatorname{reg} I^{n-1}/I^n$ 可以是任意满足 $f(n) \ge dn-1$ 且斜率为 $d$ 的数值渐近线性函数，且 $\operatorname{reg} R/I^n$ 可以是任意满足 $f(n) \ge dn-1$、斜率为 $d$ 且弱递增的数值渐近线性函数。受 Ein、Ha 和 Lazarsfeld 近期关于非奇异复射影概形工作的启发，我们还证明了对于任意分次理想 $I$，其 $I^n$ 的饱和次数的函数是渐近线性的，并研究了该函数的行为。