具有有界各向异性平均曲率的图形的正则性

我们证明了在 $L^p$（$p>m$）中平均曲率有界的 $m$ 维 Lipschitz 图形在任意维数与余维数下几乎处处正则。这为文献中出现的多个公开问题提供了部分或全部解答。要求各向异性能量满足一种新颖的椭圆性条件，该条件例如在区间面积泛函的 $C^2$ 邻域内成立。我们证明该条件蕴含原子条件。特别地，我们给出了高余维数下满足原子条件的各向异性能量的首个非平凡例子类，解决了该领域的一个公开问题。作为推论，我们推导出了在面积泛函的 $C^2$（相应地 $C^1$）邻域内具有局部有界各向异性一阶变分的 varifold（相应地 varifold 的质量）的可求长性。除这些例子外，我们还提供了一类远离面积泛函的高余维数各向异性能量，对于此类能量，具有局部有界各向异性一阶变分的 varifold 的质量的可求长性成立。最后，我们证明了在各项异性平稳图形的情形下，原子条件排除了非平凡的 Young 测度。