具有最大阶扰动的 Klein-Gordon 方程的可约化性

我们证明了准周期强迫线性 Klein-Gordon 方程 $\psi_{tt}-\psi_{xx}+\mathtt{m}\psi+Q(\omega t)\psi=0$ 的所有解（其中 $Q(\omega t) := a^{(2)}(\omega t, x) \partial_{xx} + a^{(1)}(\omega t, x)\partial_x + a^{(0)}(\omega t, x)$ 是一个保持宇称且可逆的 2 阶微分算子）在时间上是几乎周期的且对所有时间一致有界，前提是系数 $a^{(2) }, a^{(1) }, a^{(0) }$ 足够小且强迫频率 $\omega\in {\mathbb R}^{\nu}$ 属于一个渐近满测度的 Borel 集。这一结果是通过将 Klein-Gordon 方程约化为具有纯虚特征值的对角常数系数系统而获得的。主要困难在于扰动 $Q (\omega t)$ 中存在二阶微分算子 $a^{(2)}(\omega t, x)\partial_{xx}$。在适当的坐标系中，Klein-Gordon 方程是两个具有非常数系数的向后/向前准周期扰动输运方程的组合，直至低阶伪微分余项。一个关键思想是通过一种新颖的定量 Egorov 分析，利用双特征线拉直这个一阶伪微分算子。