源自Degasperis-Procesi方程的一类弱色散线性算子的可约化性

我们证明了一类拟周期强迫线性方程的可约化性，其形式为 $$\partial_tu-\partial_x\circ (1+a(\omega t, x))u+\mathcal{Q}(\omega t)u=0,\quad x\in\mathbb{T}:=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z},$$ 其中$u=u(t,x)$，$a$是一个小的$C^{\infty}$函数，$\mathcal{Q}$是阶为$-1$的伪微分算子，只要$\omega\in\mathbb{R}^{\nu}$满足适当的非共振条件。此类偏微分方程通过对Degasperis-Procesi (DP)方程在小振幅拟周期函数处线性化得到。我们的工作为在圆上发展DP方程扰动的KAM理论提供了首要基础步骤。遵循\cite{Airy}，我们的方法基于两个要点：首先是基于Egorov型定理的降阶，然后是KAM对角化格式。在两步中，关键困难均来自渐近线性色散律。鉴于在非线性背景中的应用，我们证明了对角化变量变换的尖锐\emph{tame}估计。我们注意到所提策略与技术适用于证明更一般一类线性伪微分一阶算子的可约化性。