柱形情形下 Schrödinger 算子的磁场重构

本论文中我们考虑定义在包含于无限柱形流形内的紧致区域上的磁 Schrödinger 反问题。我们证明，在电磁势的一定条件下，我们能以构造性的方式从边界测量中恢复磁场。此过程的一个基本工具是磁 Schrödinger 算子的全局 Carleman 估计。我们通过将磁算子基本共轭为 Laplacian，并利用 Kenig-Salo-Uhlmann 在各向异性情形下证明的 Carleman 估计（见 [KSU11a]）来证明这一点。该共轭通过柱面上的伪微分算子实现，为此我们发展了必要的结论。尝试此问题的动机源于关于磁 Schrödinger 算子的以下结果：其一是 [DSFKSU09] 中柱形情形唯一性问题的解，其二是 [Sal06] 中欧氏情形的重构算法。我们也将借鉴 [KSU11b] 中柱形情形下电势重构的思想。这两项新结果部分回答了 [Sal13] 中提出的 Carleman 估计问题（问题 4.3.）以及 [KSU11b] 引言中提到的磁 Schrödinger 算子重构问题。据我们所知，这些是柱形情形下首个可用的磁 Schrödinger 算子全局 Carleman 估计与重构过程。