关于有理向量场在黎曼球面上的实时 blow-up 与连接图

受 Ky\uya Masuda 80 年代初期工作的启发，只有较新的 PDE 研究才涉及复数时间下全局有界性与有限时间 blow-up 的问题。这两种现象通过从实时间到纯虚时间的转换而相互关联。作为最简单的一类 ODE 例子，我们研究标量有理向量场 \begin{equation*} \label{*} \dot{w}=P(w)/Q(w), \tag{*} \end{equation*} 其中 $P,Q$ 为复多项式。我们施加一些温和的常规非退化条件，包括极点的简单性和零点的双曲性。一般而言，实时间动力学变为梯度类似的 Morse 形式。极点在此起到双曲抛物面（saddle）的作用。然而，在极点处，解可能在有限时间内 blow-up。在黎曼球面 $w\in\widehat{\mathbb{C}}$ 上，我们对由源指向 saddle/pole 的 blow-up 轨迹的全局连接图进行分类（在正时间中），这依赖于对 blow-up 轨迹全局描述。时间反演识别出 blow-down 轨迹的对偶图。我们证明，(*) 的 blow-up 和 blow-down 图在 $\mathbb{S}^2$ 上实现所有有限多图，等价于此。当 $Q=1$ 的纯多项式情形时，实现所有平面树，别名即不相交圆弦的图表。反-全息情形 $P=1$ 实现所有不相交树，顶点受限于圆上。这一分类为由 $P$ 和 $Q$ 的次数分别决定的全局相位图的组合计数提供了依据。