具有真对合的 Waldhausen ∞ 范畴上的实 K 理论

我们发展了一个新的框架，在 $\infty$-范畴的语境中研究实 $K$-理论。为此，我们引入具有真对合（genuine duality）的 Waldhausen $\infty$-范畴，其将作为此类 $K$-理论的输入。这些是 Barwick 意义下的 Waldhausen $\infty$-范畴，配备了一个相容的对合，以及对其（松弛）厄米对象的精细化，推广了 Lurie 的 Poincar\'e $\infty$-范畴概念。由于我们证明了它们各自的 $\infty$-范畴是等价的，它们也可被视为在真 $C_2$-空间中丰富的完备 Segal 空间的一个版本，其底层 $\infty$-范畴带有相容的 Waldhausen 结构。我们通过针对具有真对合的 Waldhausen $\infty$-范畴所定义的 $S_\bullet$-构造的丰富版本，来定义实 $K$-理论真 $C_2$-空间。此外，我们证明了该 $S_\bullet$-构造的加性定理，并由此导出实 $K$-理论的加性定理。进一步地，此类实 $K$-理论满足一个泛性质——类似于 Barwick 对 Waldhausen $\infty$-范畴的代数 $K$-理论所证明的：我们证明每个理论都能以泛方式转化为加性理论，并将我们的实 K 理论等同于与把具有真对合的 Waldhausen $\infty$-范畴映为其极大子空间的函子相关联的泛加性理论。最后，我们将实 $K$-理论真 $C_2$-空间提升为真 $C_2$-谱。