高同伦范畴、高导子与K理论

对每个$\infty$-范畴$\mathscr{C}$，存在一个同伦$n$-范畴$\mathrm{h}_n \mathscr{C}$以及一个典范函子$\gamma_n \colon \mathscr{C} \to \mathrm{h}_n \mathscr{C}$。我们研究这些高同伦范畴，尤其联系（余）极限的存在与保持，通过引入弱余极限的高范畴概念。利用同伦$n$-范畴，我们引入$n$-导子的概念并研究由$\infty$-范畴产生的主要例子。遵循Maltsiniotis与Garkusha的工作，我们为$\infty$-导子定义$K$-理论，并证明从$\mathscr{C}$的Waldhausen $K$-理论到相伴$n$-导子$\mathbb{D}_{\mathscr{C}}^{(n)}$的$K$-理论的典范比较映射是$(n+1)$-连通的。我们还证明该比较映射通过泛性质刻画了$\infty$-导子的导子$K$-理论。此外，利用同伦$n$-范畴中高弱推出典范结构，我们还定义了与$\mathrm{h}_n \mathscr{C}$相关的$K$-理论空间$K(\mathrm{h}_n \mathscr{C}, \mathrm{can})$。我们证明从$\mathscr{C}$的Waldhausen $K$-理论到$K(\mathrm{h}_n \mathscr{C}, \mathrm{can})$的典范比较映射是$n$-连通的。