通过余模研究空间的 Waldhausen K-理论

设 $X$ 为一个单纯集。我们在 $X$ 上的回缩空间范畴与 $X_{+}$-余模范畴之间构造了一个新的伴随，然后应用关于左诱导模型范畴结构的近期工作（arXiv:1401.3651v2 [math.AT], arXiv:1509.08154 [math.AT]），在 $X_+$-余模范畴上建立了一个左固有单纯模型范畴结构，相对于该结构，此伴随在经过某种广义同调理论局部化后成为一个 Quillen 等价。我们进一步表明，该模型范畴结构是稳定的，从而在 $\Sigma^\infty X_{+}$-余模范谱范畴上产生了一个模型范畴结构。因此，$X$ 的 Waldhausen $K$-理论 $A(X)$ 自然弱等价于同伦有限 $\Sigma^\infty X_{+}$-余模范谱范畴的 Waldhausen $K$-理论，其中弱等价由扭曲同调给出。对于单连通的 $X$，我们展示了该范畴的 $K$-理论与同伦有限 $\Sigma^{\infty}(\Omega X)_+$-模范畴的 $K$-理论之间明确的自然弱等价，后者是 $A(X)$ 的一个更熟悉的模型。对于不一定单连通的 $X$，我们有这些结果的局部化版本。对于单纯幺半群 $H$，$\Sigma^{\infty}H_{+}$-余模代数范畴容许一个诱导的模型结构，为定义 $\Sigma^{\infty}H_{+}$ 在 $\Sigma^{\infty}H_{+}$-余模代数上的余作用的同伦余不变量提供了背景，这对于 Rognes 在 arXiv:math/0502183v2 中最初定义并在 arXiv:0902.3393v2 [math.AT] 中推广的环谱的同伦 Hopf-Galois 扩张至关重要。这一点的代数类比直到最近才被开发出来，且仅限于域上（arXiv:1401.3651v2 [math.AT]）。