Weingarten 型方程的径向解

本文研究由完全非线性 PDE $$a\, \mbox{div}\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}+b\, \frac{\mbox{det}D^2u}{(1+|Du|^2)^2}=\phi\left(\frac{1}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)$$ 定义的线性 Weingarten 方程，其中域 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$，$\phi\in C^1([-1,1])$ 且 $a,b\in\mathbb{R}$。当 $\Omega$ 为小半径圆盘时，我们探讨径向解的存在性，在 PDE 为椭圆型时给出肯定答案。在双曲情形下，我们证明不存在径向解；而在抛物情形下，我们显式求出所有解。最后，在椭圆情形下，我们证明了关于该方程 Dirichlet 问题的唯一性与对称性结果。