量子调和分析与几何不变量

我们在非交换几何框架内从头发展了一套不变量理论。给定一个算子 Q（物理语言中的超荷）和一个算子 a（其平方等于恒等算子 I），我们推导出一个依赖于 Q 和 a 的不变量 Z(Q,a) 的通用公式。当 a=I 时，我们的公式简化为 Q 的指标的麦基恩-辛格表示。函数 Z 在以下意义下是不变的：如果 Q=Q(s) 依赖于参数 s，并且 Z(Q(s),a) 关于 s 可微，那么实际上 Z(Q(s),a) 与 s 无关。我们给出了 Q(s) 使得 Z(Q(s),a) 关于 s 可微的详细条件。在本文末尾，我们考虑了受时空超对称启发的理论的二维推广。在期望由泛函积分给出的情况下，Z(Q,a) 具有简单的积分表示。我们还详细解释了我们的构造与 Connes 的整体循环上同调以及其他框架的关系。