基于 deformization 量化的非交换平面上超对称量子力学

我们提出一种基于 deformization 量化的规范性数学 formalism，用于建模位于非交换平面上、受垂直均匀磁场作用的自旋 1/2 带电粒子的 $\mathcal{N}=2$ 超对称系统。我们采用由 $C^{\infty}(\mathbb{R}^{2})[[\vartheta]],*^r$ 组成的形式幂级数在 $\vartheta$ 上的非交换不变代数，其系数位于交换环 $C^{\infty}(\mathbb{R}^{2})$ 中，以构建相关可观测量子，namely，超对称哈密顿量 $H$、超对称算子 $Q$ 及其伴随算子 $Q^{\dag}$，它们全部属于由 gauge 等价星积 $*^{r}$ 生成的 $2\times 2$ 矩阵代数 $\mathcal{M}_{2}(C^{\infty}(\mathbb{R}^{2})[[\vartheta]],*^r)$ 中。哈密顿量的能级本征值对不仅是 gauge 参数 $r$，也是非交换参数 $\vartheta$ 均不依赖。随后我们计算了与零能态相关的非平凡费米子基态，这表明在 $\vartheta$ 的所有阶数上，超对称性均保持未被破坏。我们计算得到的非交换超对称 Landau 问题的 Witten 指数为 -1，这证实了我们所考虑的模型中不存在被破坏的超对称性。