四维指数增长四阶方程的量子化效应

我们研究在 $\Omega$ 上方程 $\Delta^2 u_k=V_k e^{4u_k}$ 的解序列 $(u_k)_{k\in\mathbb{N}}\in C^4(\Omega)$ 当 $k \to +\infty$ 时的渐近行为，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^4$ 中的有界域，且 $\lim_{k\to +\infty}V_k=1$ 于 $C^0_{loc}(\Omega)$ 中。相应的二维问题由 Brézis-Merle 与 Li-Shafrir 研究，他们指出当爆裂发生时能量存在量子化现象。正如 Adimurthi、Struwe 与作者所揭示的，对于最一般的问题，此种量子化在四维中并不成立。我们在此证明，在关于 $\Delta u_k$ 的自然假设下，可恢复如同二维中的这种量子化。