具有消失势的二维Lane-Emden方程的能量量子化

我们研究具有消失势的Lane-Emden方程的集中现象$$\begin{cases} -\Delta u_n=W_n(x)u_n^{p_n},\quad u_n>0,\quad\text{in}~\Omega, u_n=0,\quad\text{on}~\partial\Omega, \int_\Omega p_n W_n(x)u_n^{p_n}dx\le C, \end{cases}$$其中$\Omega$是$\mathbb{R}^2$中的光滑有界区域，$W_n(x)\geq 0$是在$\Omega$中具有零点的有界函数，且$p_n\to\infty$当$n\to\infty$。一个典型例子是$W_n(x)=|x|^{2\alpha}$且$0\in\Omega$，即方程化为著名的H\'enon方程。$\alpha=0$时的渐近行为已在文献中被充分研究。而当$\alpha>0$时，由于奇异Liouville方程作为极限问题出现，该问题变得复杂得多。本文研究$\alpha>0$的情形，并证明一个量子化性质（设$0$为集中点）$$p_n|x|^{2\alpha}u_n(x)^{p_n-1+t}\to 8\pi e^{\frac{t}{2}}\sum_{i=1}^k\delta_{a_i}+8\pi(1+\alpha)e^{\frac{t}{2}}c^t\delta_0, \quad t=0,1,2,$$对某些$k\ge0$，$a_i\in\Omega\setminus\{0\}$及某$c\ge1$成立。此外，对$\alpha\not\in\mathbb{N}$，我们证明爆破必为简单的，即$c=1$。作为应用，我们还获得了H\'enon方程基态解的完整渐近行为。