障碍问题中自由边界的定量稳定性

我们证明了在障碍函数扰动下，$\mathbb{R}^n$（$n \ge 2$）中经典障碍问题的接触集和解的一些详细的定量稳定性结果，这也等价于研究经典位势理论中平衡测度在外场扰动下的变化。为此，我们在全空间的设定下，考察了对应于一族障碍函数 $h^t$ 的接触集边界的自由边界 $\Gamma^t$ 的演化。假设 $h=h^t (x) = h(t,x)$ 在 $[-1,1]\times \mathbb{R}^n$ 上是 $C^{k+1,\alpha}$ 的，且初始自由边界 $\Gamma^0$ 是正则的，我们证明了 $\Gamma^t$ 在 $t=0$ 的一个小邻域内关于 $t$ 是二次可微的。此外，我们证明了 $\Gamma^t$ 的“法向速度”和“法向加速度”分别是 $\Gamma^t$ 上的 $C^{k-1,\alpha}$ 和 $C^{k-2,\alpha}$ 标量场。这是通过推导这些速度和加速度的方程，并利用位势理论中的单层位势和双层位势估计研究其解的正则性来完成的。