球域内$L^\infty$与$L^1$约束下抛物型最优控制问题的定量估计：量化抛物型等周不等式

在本文中，我们提出两种不同方法以获得抛物型最优控制问题背景下的定量不等式。我们的模型由一个线性控制的带Dirichlet边界条件的热方程$(u_f)_t-\Delta u_f=f$组成，其中$f$为控制。我们寻求最大化泛函$\mathcal J_T(f):=\frac12\int_{(0;T)\times \Omega} u_f^2$或，对某个$\epsilon>0$，$\mathcal J_T^\epsilon (f):=\frac12\int_{(0;T)\times \Omega} u_f^2+\epsilon \int_\Omega u_f^2(T,\cdot)$，并对这些最大化问题获得定量估计。在域$\Omega$为球的情况下，我们提供两种方法。此时，若$f$满足$L^1$与$L^\infty$约束且不依赖于时间，我们提出一种形状导数方法，表明对任意满足相同约束的竞争者$f=f(x)$，有$\mathcal J_T(f^*)-\mathcal J_T(f)\gtrsim \Vert f-f^*\Vert_{L^1(\Omega)}^2$，其中$f^*$为最大化者。通过对这一与时间无关情形的证明，我们也展示了如何在此类抛物型优化问题中获得形状Hessian的强制性范数。我们还考虑$f=f(t,x)$满足全局$L^\infty$约束且对每个$t\in (0;T)$满足一个$L^1$约束的情形。此情形下，假设$\epsilon>0$，我们证明形如$\mathcal J_T^\epsilon (f^*)-\mathcal J_T^\epsilon (f)\gtrsim\int_0^T a_\epsilon (t) \Vert f(t,\cdot)-f^*(t,\cdot)\Vert_{L^1(\Omega)}^2$的估计，其中对任意$t\in (0;T)$有$a_\epsilon (t)>0$。该结果的证明依赖于一致的浴缸原理。