边界各向异性均值曲率下，余维为一的 varifold 的二次平坦性与正则性

我们证明，如果 $V$ 是 $\mathbf{R}^{n+1}$ 中开区域中的 $n$ 维 varifold，且具有边界各向异性均值曲率，并且 ${\rm spt} \| V \|$ 在局部具有有限的 $\mathscr{H}^n$ 测度，那么 ${\rm spt} \| V \|$ 在 $\mathscr{H}^n$ 几乎所有点处都可以被两个相切球所触及。特别地，这一结果意味着 ${\rm spt} \| V \|$ 的 $\mathscr{H}^n$ 几乎所有点都可以被 $\mathbf{R}^{n+1}$ 中数量个 $C^2$ 正则 $n$ 维子流形的并覆盖。此外，结合 Allard 的局部各向异性正则性定理，若 $V$ 是具有边界各向异性均值曲率的积分 varifold，并且 $\mathscr{H}^n \llcorner {\rm spt} \| V \|$ 相对于 $\| V \|$ 绝对连续，那么在 ${\rm spt} \| V \|$ 的密度为 1 的 $\mathscr{H}^n$ 几乎所有点处，${\rm spt} \| V \|$ 为 $C^{1, \alpha}$ 正则。