与实约化群作用相关的梯度映射的性质

设 $(Z,\omega)$ 为 Kähler 流形,$U$ 为紧连通李群,其李代数为 $\mathfrak{u}$,作用在 $Z$ 上并保持 $\omega$。我们假设 $U$-作用全纯地延拓到复化群 $U^{\mathbb C}$ 的作用,且 $U$ 在 $Z$ 上的作用是哈密顿的。则存在 $U$-等变动量映射 $\mu : Z\to \mathfrak{u}$。若 $G\subset U^{\mathbb C}$ 是闭子群,使得 Cartan 分解 $U^{\mathbb C} = U\text{exp}(i\mathfrak{u})$ 诱导出 Cartan 分解 $G = K\text{exp}(\mathfrak{p})$,其中 $K = U\cap G$,$\mathfrak{p} = \mathfrak{g}\cap i\mathfrak{u}$ 且 $\mathfrak{g}=\mathfrak k \oplus \mathfrak p$ 为 $G$ 的李代数,则存在相应的梯度映射 $\mu_\mathfrak{p} : Z\to \mathfrak{p}$。若 $X$ 是 $Z$ 中 $G$-不变的紧连通实子流形,我们可将 $\mu_{\mathfrak p}$ 视为映射 $\mu_\mathfrak{p} : X\to \mathfrak{p}$。给定 $\mathfrak p$ 上一个 $\mathrm{Ad}(K)$-不变标量积,我们得到 $X$ 上的一个类莫尔斯函数 $f=\frac{1}{2}\parallel \mu_{\mathfrak p} \parallel^2$。我们指出,在不假设 $X$ 为实解析流形的情况下,Lojasiewicz 梯度不等式对 $f$ 成立。因此 $f$ 的负梯度流的极限存在且唯一。此外,我们证明任意 $G$-轨道坍缩为单个 $K$-轨道,且属于同一 $G$-轨道的 $f$ 的两个临界点属于同一 $K$-轨道。我们还研究了阿贝尔情形下梯度映射 $\mu_\mathfrak{p}$ 的凸性性质。特别地,我们研究了两类轨道簇 $X$,并探讨了 $X$ 的拓扑与上同调性质。