具有非对称乘性相互作用的非稳态随机过程中的幂律尾部

我们考虑这样的随机过程：具有正量 $x, y (> 0)$ 的随机选取粒子按规则 $x' = c\{(1-a) x + b y\}, y' = d\{a x + (1-b) y\} (x \ge y)$ 相互作用并非对称交换量，其中 $(0 \le) a, b (\le 1)$ 和 $c, d (> 0)$ 为相互作用参数。类似于非弹性 Maxwell 模型，我们分析了缩放量概率分布函数中的非整数幂律尾部。从 Fourier 空间的矩方程形式上推导出了确定过程增长率 $\gamma$ 和尾部指数 $s$ 的超越方程。在 $c=d$ 或 $a+b=1$ ($a \neq 0, 1$) 的情况下，一阶矩方程存在闭合形式解，$\gamma$ 和 $s$ 可从超越方程解析计算。结果表明，在 $c=d$ 时，小量的交换率 $b$ 与幂律尾部无关。在 $c \neq d$ 且 $a+b \neq 1$ 的情况下，由于相互作用的非对称性，无法获得一阶矩方程的闭合形式解。然而，奇异项的矩方程形式上构成了闭合解，并展示了存在幂律尾部的可能性。讨论了指数 $s$ 关于参数 $a, b, c, d$ 的连续性。随后进行了数值模拟并与理论进行了比较。$\gamma$ 和 $s$ 均取得了良好的一致性。