带自由表面的不可压缩 Euler 方程的端口哈密顿表述

在本文中，我们给出由表面张力与重力驱动的带自由表面的不可压缩 Euler 方程的端口哈密顿（port-Hamiltonian）表述，其建模了例如毛细波、重力波以及空气中液滴的演化。考虑了三组变量，即 $(v,\Sigma)$、$(\eta,\phi_{\partial},\Sigma)$ 与 $(\omega,\phi_{\partial},\Sigma)$，其中 $v$ 为速度，$\eta$ 为无散度速度，$\phi_{\partial}$ 为一个势，$\omega$ 为涡量，$\Sigma$ 为自由表面，从而得到原始变量下的不可压缩 Euler 方程与涡量方程。首先，将在微分形式的适当 Sobolev 空间中推导带自由表面且与具有齐次边界条件的固定边界曲面相结合的不可压缩 Euler 方程的哈密顿表述。接着，将这些结果推广到允许非齐次边界条件及通过边界的非零能量流的端口哈密顿表述。我们的主要结果是为每组变量在微分形式的合适 Sobolev 空间中构造并证明 Dirac 结构，这构成了任何端口哈密顿表述的核心。最后，证明了依赖于状态的 Dirac 结构与线性的、斜对称的且满足 Jacobi 恒等式的泊松括号相关。