Poisson-Voronoi 镶嵌与高秩中的固定代价

设 $G$ 为高秩半单实李群或至少两个正则树自同构群的乘积。我们证明此类群中格的所有保概率测度作用代价为一，回答了 Gaboriau 关于该类群的固定代价问题。我们证明 $G$ 中无挠格的最小生成元个数在 $\Gamma$ 的协体积中为亚线性的，解决了 Ab\'{e}rt-Gelander-Nikolov 的一个猜想。作为推论，我们导出了高秩局部对称空间的首个模-$p$ 同调群增长的新估计。我们的证明方法是新颖的，使用了高秩对称空间上的低强度 Poisson 点过程及其关联 Voronoi 镶嵌的几何。我们证明当强度趋于零时，这些镶嵌将空间划分为“类 horoball”的胞腔，使得任意两个胞腔共享一条无界边界。我们利用这一新现象为高秩格的轨道等价关系构造低代价图。