Poisson 与 Lebesgue 的稳定匹配

设 $\Xi$ 为 ${\mathbb{R}}^d$ 中的离散集合。称 $\Xi$ 的元素为中心。著名的 Voronoi 镶嵌将 ${\mathbb{R}}^d$ 划分为多面体区域（大小不一），方法是将 ${\mathbb{R}}^d$ 的每个点分配给最近的中心。此处我们研究将 ${\mathbb{R}}^d$ 向 $\Xi$ 的“公平”分配，其中分配给不同中心的区域具有相等体积。我们证明，若 $\Xi$ 由平移不变点过程得到，则存在唯一的公平分配，其在 Gale--Shapley 婚姻问题的意义下是稳定的。（即点与中心均偏好被分配得尽可能近，若某点与某中心彼此的偏好均胜过当前分配，则称该分配不稳定。）我们证明分配给每个中心 $\xi$ 的区域是有限多个有界连通集的并。然而，在 Poisson 过程的情形下，有无穷体积的点被分配给了比 $\xi$ 更远的中心。我们证明了典型点的分配距离的幂律下界。在 $d>1$ 时给出任何上界仍是一个开放问题。