点过程、代价与局部紧群中秩的增长

设 $G$ 为非离散且非紧的局部紧、第二可数、单模群。我们探讨 $G$ 上不变点过程的理论。我们证明 $G$ 的每个自由保概率测度（pmp）作用都可由一个不变点过程实现。我们用这一语言分析 $G$ 的 pmp 作用的代价。我们证明在自由 pmp 作用中，泊松过程上的代价是极大的。这源于证明每个自由点过程弱因子化到任意泊松过程上，且代价对弱因子是单调的（在某些限制下）。我们应用此结论证明 $G\times \mathbb{Z}$ 具有固定代价 $1$，解决了 Carderi 的一个问题。我们还证明当 $G$ 为半单实李群时，$G$ 中格的任意 Farber 序列的秩梯度被 $G$ 的泊松过程的代价所控制。这尤其意味着：若 $SL_{2}(\mathbb{C})$ 的泊松过程代价消失，则在 Farber 链上双曲 $3$-流形的 Heegaard 亏格与秩之比趋于无穷。