分层 Dyson 模型中特征值的 Poisson 统计

设 $(X,d)$ 为局部紧可分离超度量空间。给定 $X$ 上的测度 $m$ 以及定义在所有球 $B\subset X$ 的集合 $\mathcal{B}$ 上的函数 $C$，我们考虑分层拉普拉斯算子 $L=L_{C}$。算子 $L$ 作用于 $L^{2}(X,m)$ 中，是本质自伴的，并且具有纯点谱。选取一族 $\{\varepsilon(B)\}_{B\in \mathcal{B}}$ 独立同分布的随机变量，我们定义扰动函数 $\mathcal{C}(B)=C(B)(1+\varepsilon(B))$ 与扰动分层拉普拉斯算子 $\mathcal{L}=L_{\mathcal{C}}$。扰动算子 $\mathcal{L}$ 的所有实现均为分层拉普拉斯算子。特别地，它们都具有纯点谱。我们研究由 $\mathcal{L}$-特征值定义的经验点过程 $M$。在某些自然假设下，$M$ 可由 Poisson 点过程近似。利用 Arratia、Goldstein 和 Gordon 基于 Chen-Stein 方法的结果，我们给出了 Poisson 近似的全变差收敛速率。我们将理论应用于算子 $\mathfrak{D}^{\alpha }$（阶 $\alpha >0$ 的 $p$-adic 分数阶导数）的随机扰动。该算子与 $p$-adic 量子力学概念相关，是一个作用于 $L^{2}(X,m)$ 的分层拉普拉斯算子，其中 $X=\mathbb{Q}_{p}$ 为 $p$-adic 数域，$m$ 为 Haar 测度。它是平移不变的，且 $\mathsf{Spec}(\mathfrak{D}^{\alpha })$ 由特征值 $p^{\alpha k}$（$k\in \mathbb{Z}$）组成，每个特征值具有无限重数。