关于层次拉普拉斯算子的谱

设$(X,d)$为局部紧可分超度量空间。假设$(X,d)$是适定的，即$X$中任何闭球$B$都是紧集。给定$X$上的测度$m$和定义在球集上的函数$C(B)$（选择函数），我们定义层次拉普拉斯算子$L_C$，它与F.J. Dyson的层次格点概念密切相关。$L_C$是$L^2(X,m)$中的非负定自伴算子。本文研究如下问题：作为非负实数子集的谱$\mathsf{Spec}(L_C)$可以有多一般？当$(X,d)$紧时，$\mathsf{Spec}(L_C)$是包含0的有限重数递增特征值序列。假设$(X,d)$非紧，我们证明，在关于层次格点（即$d$-球树）结构的某些自然条件下，任何给定的$[0,\infty)$的闭子集$S$（若$X$非离散则$S$以0为聚点且无界）都可以作为适当选择函数$C(B)$下的$\mathsf{Spec}(L_C)$出现。算子$-L_C$可延拓到$L^q(X,m)$（$0<q<\infty$）上作为马尔可夫生成元，其谱与$q$无关。作为例子，我们考虑定义在$p$-进数域$\mathbb{Q}_p$上的分数阶导数算子$\mathfrak{D}^{\alpha}$。