实球面空间的 Plancherel 理论：Bernstein 态射的构造

给定一个单模实球面空间 $Z=G/H$，我们对 $Z$ 的每个边界退化 $Z_I=G/H_I$ 构造一个 Bernstein 态射 $B_I: L^2(Z_I)_{\rm disc }\to L^2(Z)$。我们证明 $B:=\bigoplus_I B_I$ 给出了到 $L^2(Z)$ 上的一个等谱 $G$-等变态射。此外，映射 $B_I$ 是正交投影的有限线性组合，在 $Z$ 为群或对称空间的已知情形中可转化为熟悉的 Maass-Selberg 关系。作为推论，我们得到若 ${\mathfrak h}^\perp$ 的内部含有椭圆元素，则 $L^2(Z)_{\rm disc }\neq \emptyset$。