大型网络上动力系统稳态的持久性
动力系统
2026-02-26 v1 经典分析与常微分方程
适应与自组织系统
摘要
本工作的目标是识别定义在大型随机网络族上的动力系统的稳态解。我们通过过渡到连续统极限来实现这一目标，其中邻接矩阵被替换为具有称为图限（graphon）的核的非局部算子。该图限方程通常更易于分析，并提供了一个单一的方程来研究，而不是导致该极限的无限多种网络变体。我们的工作建立了连续统系统与网络系统稳态之间的严格联系。确切地说，我们证明了如果图限方程拥有一个线性化可逆的稳态解，那么对于所有收敛于该图限的足够大图，有限维网络动力系统都存在相关的稳态解。证明涉及建立一个 Newton--Kantorovich 型迭代格式，该格式被证明在适当的度量空间上是压缩的。有趣的是，我们表明所定义算子的第一次迭代通常不是压缩映射，但第二次迭代被证明在该空间上是压缩的。我们将结果推广，表明线性稳定性性质也从图限系统延续到图动力系统。我们的结果应用于耦合振子 Kuramoto 模型中的扭曲态（twisted states）、神经元网络活动模型中的稳态以及生态相互作用 Lotka--Volterra 模型。
引用
@article{arxiv.2402.09276,
title = {Persistence of steady-states for dynamical systems on large networks},
author = {Jason J. Bramburger and Matt Holzer and Jackson Williams},
journal= {arXiv preprint arXiv:2402.09276},
year = {2026}
}