稀疏随机图上 Kuramoto 模型的连续统极限

本文研究收敛图序列上耦合动力系统到连续统极限的收敛性。我们证明，在收敛图序列上动力学系统的初值问题解，当图规模趋于无穷时，趋于单位区间上非局部扩散方程的初值问题解。我们改进了 [Arch. Ration. Mech. Anal., 21 (2014), pp. 781--803] 中的早期结果，并将其推广至更大图类，包括有向与无向、稀疏与稠密、随机与确定性图。我们的方法包含三个主要要素。首先，我们采用一个灵活框架将随机图纳入相互作用动力系统模型，其与连续统极限的推导无缝契合。其次，我们证明用随机图上的动力学系统的确定性（平均）对应来近似的平均原理。该证明覆盖稀疏图上的系统，并在时间区间阶 log n 上给出几乎必然收敛，其中 n 为顶点数。最后，发展了一种 Galerkin 格式以展示平均模型到连续统极限的收敛。本文分析覆盖多种图上的耦合相振子 Kuramoto 模型，包括稀疏 Erdős-Rényi、小世界与幂律图。