随机几何图上 Kuramoto 模型的标度极限

我们考虑定义在图上的 Kuramoto 模型，其节点由 $d$ 维环面上均匀分布的 $n$ 个独立同分布点给出。若两个节点之间的距离小于 $\epsilon$，则声明它们为邻居。我们证明了当 $n\to\infty$ 且 $\epsilon \to 0$ 使得 $\epsilon^{d+2}n/\log n \to \infty$ 时，该模型在紧致时间区间上的标度极限。极限对象由热方程给出。一方面，这表明正弦函数给出的非线性在该标度下消失；另一方面，这提供了证据表明，当 $n\to\infty$ 时，这些图上 Kuramoto 模型的稳定平衡态与热方程的稳定平衡态相对应，后者是显式的并由扭转态（twisted states）给出。鉴于此，我们猜想当 $n\to \infty$ 时，以高概率存在扭转稳定平衡态。