图的同调与耦合振子网络的稳定性

在许多耦合振子网络模型中，不动点稳定性问题归结为计算图拉普拉斯矩阵的指标。此类模型的一些例子包括 Kuramoto 方程和 Kuramoto-Sakaguchi 方程，以及控制电网中耦合发电机行为的摇摆方程。我们证明，该指标计算可以与在图的第一同调群而非顶点空间上进行的对偶计算相关联。我们还证明，对于相对稀疏的图，这种表示在计算上具有吸引力，因为此时第一同调群的维数较低，这在许多应用中都是如此。我们还给出了包含一个或两个环的图的锁相解不稳定流形维数的显式公式。作为一个应用，我们给出了定义在环上的 Kuramoto 模型的一些新结果，并计算了稳定解的最长可能边长度。