$\alpha$-SQG 尖锋方程解的仿线性化与延拓寿命

在本文中，我们对任意 $\alpha \in (0,1) \cup (1,2)$、接近圆形涡的 $\alpha$-SQG 尖锋的轮廓动力学方程进行仿线性化。这被证明是一个拟线性哈密顿偏微分方程。在推导出涡盘处振荡线性频率的渐近展开并验证不存在三波相互作用后，我们证明，在最奇异的情形 $\alpha \in (1,2)$ 下，任何与涡盘 $\varepsilon$-接近的初始涡块存在的时间区间至少为 $\sim \varepsilon^{-2}$。这一二次寿命结果依赖于仿微分 Birkhoff 正规形化简，并利用了方程哈密顿性质所产生的相消。这是首个尖锋的正规形长时间存在结果。