平面上 Euler 方程的时间拟周期涡斑

我们证明了 $\mathbb{R}^2$ 中 2$d$-Euler 方程的时间拟周期涡斑解的存在性，这些解接近于均匀旋转的 Kirchhoff 椭圆涡，其纵横比属于一个渐近满 Lebesgue 测度的集合。该问题被重新表述为关于从椭圆出发的径向位移的拟线性 Hamilton 方程。KAM 证明的一个主要困难是存在零法向模频率，这是由于角动量守恒所致。克服这种退化性的关键新颖之处在于执行角动量的微扰辛约化，按照有限维中辛矩形化的 Darboux-Carathéodory 定理的精神，将其作为辛变量引入。这种方法在无限维相空间中尤为微妙：我们的辛变量变换是由角动量本身生成的传输流的非线性修正。这是此类思想首次在偏微分方程的 KAM 中得到实现。其他困难包括方程缺乏旋转对称性以及双曲/椭圆法向模的存在。在后述困难以及法向频率的退化性在其他最近使用本文所引入公式研究的涡斑问题中是不存在的。