天体力学中的抛物鞍点与Newhouse域

在20世纪70年代，McGehee通过粘合一个“在无穷远处”的周期轨道流形，引入了限制性三体问题相空间的紧化。尽管从动力学角度看，这些周期轨道是抛物型的（庞加莱映射的线性化是单位矩阵），但其中一个（记作 $O$）具有稳定流形和不稳定流形，并且这些流形还分隔了有界运动和无界运动区域。这一观察促使了从Alekseev和Moser的工作开始的、与 $O$ 相关的同宿图景的研究。我们继续这项研究，并将同宿分岔理论中的一些经典结果推广到这种退化情形。具体而言，我们证明了在参数空间（天体质量比）中存在Newhouse域 $\mathcal N$ 和剩余子集 $\mathcal R\subset \mathcal N$，使得 $O$ 的同宿类具有最大Hausdorff维数，并被一般椭圆周期轨道所累积。我们工作的主要结论之一是：对于限制性三体问题中（局部）拓扑大的参数集，其椭圆岛的并集构成相空间的一个无界子集，并且，一般椭圆周期轨道集合的闭包包含Hausdorff维数任意接近最大值的双曲集。本文还考虑了限制性 $n$ 体问题的其他实例，如Sitnikov问题和 $n=4$ 的情形。