交换零幂矩阵对与 Hilbert 函数

设 K 为无限域，用 H(n,K) 表示元素在 K 中的交换零幂 n 乘 n 矩阵对 (A,B) 的族。V. Baranovsky、R. Basili 和 A. Premet 最近对 H(n,K) 与平面 punctual Hilbert 概型在对称积的 n 重点上的纤维 H[n] 之间的联系进行了大量研究。我们研究了由 Artin 环 K[A,B] 的 Hilbert 函数对 H(n,K) 进行的分层。我们表明，当 dim_K K[A,B] = n 时，束 A+\lambda B (\lambda \in K) 的通用元素具有 Jordan 分割，即最大分割 P(H)，其对角线长度为 K[A,B] 的 Hilbert 函数。我们将与 Jordan 分割为 P 的零幂 B 交换的零幂 A 的最大 Jordan 分割记为 Q(P)。我们表明，稳定分割（即满足 Q(P)=P 的分割）是那些部分之差至少为二的分割。在特征为零的情况下，后者是 D. Panyushev 结果的一个特例。我们关于束的结果表明 Q(P) 具有递减的部分。在相关工作中，T. Kosir 和 P. Oblak 进一步证明了 Q(P) 本身是稳定的。