与 Bessel 算子相关的 Riesz 变换的振荡与变差

设 $\lambda>0$ 且 $\triangle_\lambda:=-\frac{d^2}{dx^2}-\frac{2\lambda}{x} \frac d{dx}$ 为 $\mathbb R_+:=(0,\infty)$ 上的 Bessel 算子。我们证明与 $\Delta_\lambda$ 相关的 Riesz 变换 $R_{\Delta_{\lambda}}$ 的振荡算子 $\mathcal{O}(R_{\Delta_{\lambda},\ast})$ 和变差算子 $\mathcal{V}_{\rho}(R_{\Delta_{\lambda},\ast})$ 在 $L^p(\mathbb R_+, dm_{\lambda})$ 上对 $p\in(1,\,\infty)$ 均有界，从 $L^1(\mathbb{R}_{+},dm_{\lambda})$ 到 $L^{1,\,\infty}(\mathbb{R}_{+},dm_{\lambda})$ 有界，以及从 $L^{\infty}(\mathbb{R}_{+},dm_{\lambda})$ 到 $BMO(\mathbb{R}_{+},dm_{\lambda})$ 有界，其中 $\rho\in (2,\infty)$ 且 $dm_{\lambda}(x):=x^{2\lambda}dx$。作为应用，我们给出了 $\beta$-jump 算子与上穿次数的相应 $L^p$ 估计。